高二等比数列的概念、通项公式、性质范文

高二等比数列的概念、通项公式、性质

教学目标：理解掌握等比数列概念；通项公式的应用，类比等差数列体会性质的生成过程，并熟练应用；

教学重、难点：本节重点在于性质的掌握难点在于通项公式和性质的应用；

1．等比数列的定义

如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比都等于__同一个常数__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，公比通常用字母__q__表示．

2．等比数列的递推公式与通项公式

已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，

填表：

3.等比中项

(1)如果三个数x，G，y组成__等比数列__，则G叫做x和y的等比中项．

(2)如果G是x和y的等比中项，那么__G2＝xy__，即__G＝±__.

1　⇨等比数列的通项公式

例题1已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.

解法二：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2.

从而，解之得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.故an＝2n－1，或an＝23－n.

⇨等比数列的判定与证明

例题2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．

(1)求证{bn}是等比数列；

(2)求{an}的通项公式．

『规律总结』　判定数列是等比数列的常用方法

(1)定义法：＝q(常数)或＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．

(2)等比中项法a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．

(3)通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．

忽视等比中项的符号致错　

例题.等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．

等比数列的性质

1．等比数列的项与序号的关系(1)两项关系通项公式的推广：an＝am·__qn－m__(m、n∈N*)．(2)多项关系项的运算性质

若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am·an＝__ap·aq__.特别地，若m＋n＝2p(m、n、p∈N*)，则am·an＝__a__.

2．等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即a1·an＝a2·__an－1__＝ak·__an－k＋1__＝a(n为正奇数)．

3．等比数列的运算数列的性质

(1)若{an}是公比为q的等比数列，则①{c·an}(c是非零常数)是公比为__cq__的等比数列；②{|an|}是公比为__|q|__的等比数列．

(2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为__q1·q2__的等比数列．4．等比数列的单调性

(1)当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时，等比数列{an}为递__增__数列；

(2)当a1>0,0<q<1或a1<0，q>1时，等比数列{an}为递__减__数列；

(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．

『规律总结』　(1)若{an}为等比数列，则{}，{|an|}，{a}，{pan}(p≠0)，{anan＋k}均为等比数列；(2)若{an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}，{}都是等比数列．

(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.

(4)若等比数列的下标具有某种规律时，应考虑应用性质求解．

『规律总结』　等比数列中的设项方法与技巧

(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq.

(2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3.忽视等比数列中奇数项符号相同、偶数项符号相同而致错　

例题3已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，求的值．