高二等比数列的概念、通项公式、性质范文

(作者:66622592时间:2022-03-14 17:25:22)

高二等比数列的概念、通项公式、性质

教学目标:理解掌握等比数列概念;通项公式的应用,类比等差数列体会性质的生成过程,并熟练应用;

教学重、难点:本节重点在于性质的掌握难点在于通项公式和性质的应用;

1.等比数列的定义

如果一个数列从__第2项__起,每一项与它的前一项的比都等于__同一个常数__,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的__公比__,公比通常用字母__q__表示.

2.等比数列的递推公式与通项公式

已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),

填表:

递推公式

通项公式

=__q__(n≥2)

an=__a1qn-1__

3.等比中项

(1)如果三个数x,G,y组成__等比数列__,则G叫做x和y的等比中项.

(2)如果G是x和y的等比中项,那么__G2=xy__,即__G=±__.

1 ⇨等比数列的通项公式

例题1已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.

解法二:∵a1a3=a,∴a1a2a3=a=8,∴a2=2.

从而,解之得a1=1,a3=4,或a1=4,a3=1,当a1=1时,q=2;当a1=4时,q=.故an=2n-1,或an=23-n.

⇨等比数列的判定与证明

例题2 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(n∈N*).

(1)求证{bn}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式.

『规律总结』 判定数列是等比数列的常用方法

(1)定义法:=q(常数)或=q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列.

(2)等比中项法a=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.

(3)通项法:an=a1qn-1(其中a1、q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.

忽视等比中项的符号致错 

例题.等比数列{an}的前三项的和为168,a2-a5=42,求a5、a7的等比中项.

等比数列的性质

1.等比数列的项与序号的关系(1)两项关系通项公式的推广:an=am·__qn-m__(m、n∈N*).(2)多项关系项的运算性质

若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),则am·an=__ap·aq__.特别地,若m+n=2p(m、n、p∈N*),则am·an=__a__.

2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方),即a1·an=a2·__an-1__=ak·__an-k+1__=a(n为正奇数).

3.等比数列的运算数列的性质

(1)若{an}是公比为q的等比数列,则①{c·an}(c是非零常数)是公比为__cq__的等比数列;②{|an|}是公比为__|q|__的等比数列.

(2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为__q1·q2__的等比数列.4.等比数列的单调性

(1)当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列{an}为递__增__数列;

(2)当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,等比数列{an}为递__减__数列;

(3)当q=1时,数列{an}是常数列;(4)当q<0时,数列{an}是摆动数列.

『规律总结』 (1)若{an}为等比数列,则{},{|an|},{a},{pan}(p≠0),{anan+k}均为等比数列;(2)若{an},{bn}均为等比数列,则{anbn},{}都是等比数列.

(3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq.

(4)若等比数列的下标具有某种规律时,应考虑应用性质求解.

『规律总结』 等比数列中的设项方法与技巧

(1)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq2或,a,aq.

(2)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,可设,,aq,aq3.忽视等比数列中奇数项符号相同、偶数项符号相同而致错 

例题3已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,求的值.

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