全等三角形培优100题 全等三角形专题课（精品多篇）范文

[引言]全等三角形培优100题 全等三角形专题课（精品多篇）为好范文网的会员投稿推荐，但愿对你的学习工作带来帮助。

全等三角形培优100题 全等三角形专题课 篇一

《全等三角形（第一课时）》说课稿

一、教材简介：

义务教育课程标准实验教科书鲁教版五四学制初中数学七年级下册第十章第一节《全等三角形》第一课时。

二、教学目标：

1、课程标准的要求：

本节课是关于全等三角形的证明的相关知识，需要从全等三角形的三个基本事实出发，利用它们的结论进行一些相关的几何结论。通过本节课的学习，要使学生能够掌握证明的基本步骤和书写格式，能灵活地运用三个基本事实和一个定理来判定两个三角形全等，并得到相关结论。课标要求尽可能地降低学生的学习难度。对于定理的证明，应该让学生进行，以便于学生熟悉证明的基本要求和步骤，为今后的做题做准备。

2、对教材的进一步研究：

本节课的教材内容共分三部分：一是有关全等三角形的三个基本事实。这一部分内容在初二上册的内容中已经接触过，学生完成的难度不是太大，基本上都能掌握。在教学过程中教师在引导学生掌握内容的同时可以根据学生的实际情况，复习一下这三个基本事实在运用的过程中的一般思路，为下面定理的证明以及运用定理解题打下基础。二是aas定理的证明过程，定理的证明过程虽然比较简单，也应让学生进行证明，以熟悉证明的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。本章课本的证明过程没有标注理由，在实际的教学过程中，教师可以根据学生的实际情况，让学生有选择性地对一些步骤加上理由。三是运用有关全等三角形的基本事实和定理来解决相关的问题。在这一部分中，教师的主要职责是帮助学生学习解题思路，交给学生去寻找判定两个三角形全等的条件，并进一步规范学生的证明过程，让学生养成良好的学习习惯。

3、学情分析：

在初二上学期时已经学过了关于全等三角形的几个基本事实，并能运用这几个事实来说明两个三角形全等。本节课实在前面学习过的基础上进一步学习aas定理并能加以运用。本节课学生学习的重点是熟悉证明的基本要求和步骤，掌握证明线段相等或角相等的一般思路。学生在掌握证明的基本要求和步骤时难度较大，很多学生不能准确、清晰、简洁地组织证明步骤。教师在教学过程中可以让学生先自己写出aas定理的证明过程，然后对照课本的步骤，查漏补缺，找到自己存在的不足，然后加以改正，从而提升学生的写步骤的能力。同时可以通过本节课的内容帮助学生养成严谨的学习习惯。

4、自我背景性经验剖析：

本节课的内容难度不大，但是是今后解决几何问题的重要依据和方法，在一些实际问题中也经常需要用到全等三角形的模型，在教学过程中可以加入适当的情景导入，激发学生的学习兴趣，通过一些小的例子，使学生明白养成严谨的做题习惯的必要性，努力地使学生乐于接受本节课的相关内容。

5、制定本节课具体的课时目标：

（1）全体学生都能说出证明三角形全等的三条基本事实，60%的学生能写出aas命题的证明，49&的学生能灵活应用sas,asa，sss和aas来判定两个三角形全等。

（2）三分之二的学生能掌握命题证明的基本步骤和格式，会根据命题写出已知、求证和证明，并画出图形。

（3）30%的学生能认识部分和全等三角形有关的基本图形，掌握分析法解题的思路。

（4）全体学生养成规范、严谨的解题习惯。

三、教材重整：

本节课的内容是在原有的证明三角形全等的基本事实的基础之上，进一步来证明“aas”定理，并能加以运用，之后可以综合运用相关的定理进行全等的证明，并掌握证明的基本步骤和书写格式。为了培养学生的解题思路，为下面命题的证明做准备，我对三条基本事实进行了深加工，用视频演示的方法对“重叠法”证明全等进行了讲解，并让学生进行模仿，对另外的基本事实进行了简单的证明，重点培养了 部分学优生的解题思路。这一部分对中等生和学困生的完成情况不做进一步的追究，体现出了差异性。

四、教学过程：

（一）教学范型：本节课是初二数学差异教学的课程，这是根据我校的数学成绩较为落后，学困生较多、学习积极性不高的现状，所采取的促进不同水平的学生共同发展的一种举措，倡导差异合作来促进学生的差异化发展，属于分组共建的模式。

（二）课堂的整体架构：本节课的内容分为四大部分：自主探究、合作交流、巩固练习、当堂测评。

（1）自主探究：

在这一环节中，先让学生通过一个知识链接对以前学过的知识做一个简单的回顾，并为后面的学习进行一些知识储备。这一环节内容难度不大，需要让全体同学都参与进去，让全班同学都掌握这一部分。然后进入到本节的探究题目中。

探究分为两大部分，第一部分是对三条基本事实的证明过程的探究，学生利用自己制作的全等三角形的纸片，结合视频教学的内容，探讨基本事实的证明过程，这一部分的难度较大，在学法指导上明确学生的分工，对于优等生尝试去解决证明方法的问题，并努力用语言进行交流展示，中等生大致上可以了解证明的一般思路即可，而对于学困生，只需要利用手中的纸片，能进行两个三角形的重叠，明确两个三角形全等即可。

【细节一】学生通过观看视频，学习基本事实的证明过程，观看较为认真，为下面的问题解决提供了思路。

设计理念：关注学生在自学能力方面的差异，让学生通过本环节，学会用模仿的方式来解决数学问题，进一步理解证明两个三角形全等的几种方法，为下面定理的证明做准备，同时通过让学生交流，初步了解证明的一般思路和过程，明确应该从哪些方面来说明两个三角形全等。

第二部分是探究“aas”定理的证明过程。这一部分需要学生首先明确对于命题的证明的一般步骤，这一内容对学生思维能力的要求不高，全体学生基本上都能完成，学困生能明确这一点就可视为合格；中等生在小组合作的前提下能找到相应的证明思路即可，由优等生进行评价、补充；学优生在完成前面内容的基础上能规范、完整地写出解题步骤，并能类比这一步骤进行相关的证明方可达标。

【细节二】学生在完成探究二的题目时，由于对以前的知识点不够熟悉，在不同水平的学生之间存在较大的差异，在小组合作学习时采取一对一的方式，让学优生帮忙解决。

设计理念：关注学生的基础差异，防止学生不参与小组合作学习或者直接照抄学优生的答案，努力提升学生的学习积极性。（2）合作交流：

在这一环节中，学生交流展示在上一环节中的学习成果，在展示的过程中，首先教师依据小组合作情况点名展示，主要是对中等生的成果展示，学生的展示重点是对定理证明过程中的操作演示，展示后由其他同学进行补充，补充的内容仍然是以操作为主，优等生可以对证明的思路进行讲解。这一环节关注的是不同层次的学生在小组合作学习中的参与度，让不同水平的学生都能得到参与课堂、展示自我的机会。学生的总体表现较为理想，主动交流的效果比较显著。

【细节三】学生交流基本事实的证明过程，第一名同学的思路出现较大的问题，由其他同学加以补充，尽管都不是很理想，但是对不同水平的学生的表现都给予肯定。

设计理念：关注学生的思维能力差异和语言表达能力的差异，尽量使全体同学都能参与到课堂中来，提升学生的自信心。多给学困生展示 自我的机会。

【细节四】学生交流探究二的问题的答案，学困生答案很疑惑，通过同学的补充才得以完成。

设计理念：关注班内差异。点名让学生回答，找出学生容易出现的问题，学生可以主动加以改正。

（3）巩固练习：

在这一环节中设置的是和本节课内容关系紧密的练习题，让学生通过解题的形式对本节课的相关知识点加以巩固。练习题的设置紧扣本节课的知识点，以a、b、c的标记作为题目分层设计的依据，让不同层次的学生选择适合自己的学习水平和认知结果的题目。题目的设计做到了分类、分层，使学优生有选择地多做练习，认识不同的题目类型，中等生有自己的选择目标和上升的空间，给他们努力地动力，学困生有题可做，能找到自己会做的题目，在掌握基础知识的同时给自己学习的信心。

（4）当堂检测：

这一环节是对本堂课学生对知识的掌握情况的一个反馈，检测题的设置仍然贯彻分类、分层的原则，不同的学生有选择性地进行测试。在题目上有清晰地分类标志，满足不同学生的需要。检测的时间大约为5分钟，检测完成后集体批改，把测试的结果进行小组合作学习的量化。在量化的过程中不是单纯地以做对题目的数量来进行加减分，而是以不同层次的学生的总体表现来进行小组考核。比如说每组5/6号同学能完成a组题目即可得到满分，中等生完成a、b组题目也可得到满分的形式进行，在很大程度上也保存了学困生的学习兴趣。

【细节五】布置作业。

设计理念：正视学生的差异，关注差异。给学习程度不同的学生布置不同的作业，让其都能在不同层面上得到发展。

五、自我反思：

本节课上完以后，发现了不少存在的问题，下面对比较突出的问题进行一个总结反思，以便于今后加以改进。

1、本节课的课堂内容设计较为合理，但是课前对学生的基础与能力预估不够，对学生有较为严重的高估，导致学生不能按时、顺利地完成每一环节的要求和内容，从而导致课堂教学时间的安排不够合理，最后时间较为仓促、紧张，教学内容没能全部完成。

2、在关注学生的差异性方面，能够力求关注全体学生，不让学生有无从下手的感觉，使学困生有事做、有收获，但是在实际的操作过程中，过于紧张课堂时间，在很多环节上，给学困生的发挥展示空间和时间不足，学生的整体差异体现不够清楚。

3、课堂气氛的调度不够，学生的参与积极性不够高，小组合作学习时，不能很好地进行交流，课堂不够活跃。

4、对于学生解题步骤的规范性要求不到位，对于几何语言的表述强调不够，会影响今后学生的证明思路。

全等三角形培优100题 全等三角形专题课 篇二

复习提问 通过前两个问题复习巩固上一节所讲的知识，通过问题3引导学生认识到三角形全等是证明角相等、线段相等的重要方法，然后设疑，如何证明两个三角形全等？从而引出课题。

活动二：讲授新课 全等三角形的判定条件的探究 首先提出

问题1：两个三角形三条边相等、三个角相等，这两个三角形全等吗？学生通过观察图形和课件演示，会很容易作出恳定的回答。

问题2：两个三角形全等是不是一定要六个条件呢？若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件它们是否全等呢？然后教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情形。引导全班同学首先共同完成满足一个条件的情况的探究，然后指导学生分组讨论，对满足两个条件的 情况进行探究，并在组内交流，教师深入小组参与活动，倾听学生交流，并帮助学生比较各种情况。最后由教师在投影上给出满足一个条件和两个条件的几组三角形，学生通过观察图形就会得到一结论：两个三角形若满足这六个条件中的一个或两个条件是不能保证两个三角形一定全等的。

问题3：两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗？满足三个条件有几种情形呢？由学生分组讨论、交流，最后教师总结，得出可分为四种情况，即三边对应相等、三角对应相等、两边一角对应相等、两角一边对应相等。告诉学生这一节先探究两个三角形满足三条边相等时，两个三角形是否全等？对于此问题我是这样引导学生探究的，先让学生在练习本上各画一个边长分别为2、3、4的三角形（当然在这里要先给学生讲清楚已知三边如何画三角形，并且让学生牢记此种画三角形的方法），学生画好之后剪下来，同桌之间进行比较、验证，看它们是否重合。同时教师在投影上给出两个边长为2、3、4的三角形，通过课件演示，学生会看到两个三角形的三边对应相等，它们是全等的。从而得到全等三角形的判定方法，即：有三条边对应相等的两个三角形是全等三角形。得到全等三角形的判定条件之后，还要给学生讲清楚证明三角形全等的书写格式，即：先要写出在那两个三角形中，然后用大括号把全等的三个条件括住，最后写出全等的结论。由于学生刚开始学习全等三角形的证明，对三角形全等的书写格式还不熟悉，所以教师在此要强调三角形全等的书写格式以及应注意的问题。

活动三：题例训练 例1是两道填空题，需要补全三角形全等的条件，在讲解此题时关键是让学生看清图中两个三角形全等已具备哪些条件，还缺什么条件，把所缺的条件补上即可。通过此题要使学生进一步掌握三角形全等的判定条件及证明三角形全等的书写格式和应注意的问题。

全等三角形培优100题 全等三角形专题课 篇三

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（二）探索三角形全等的条件

1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点b、f、c、d

mn⑴求证：ab⊥ed；

⑵若pb＝bc，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明

2、如图，在△abc中，ac＝bc，∠acb＝90°，ad平分∠bac，be⊥ad交ac的延长线于f，e为垂足，则结论：①ad＝bf；②cf＝cd；③ac＋cd＝ab；④be＝cf；⑤bf＝2be.其中正确的是（）

3、如图，点c在线段ab上，da ⊥ab，eb⊥ab，fc⊥ab，且da＝bc，eb＝ac，fc＝ab，∠afb＝51°，求∠fcdbedcae

acbf________________________________________________________________________________________________________________

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4、如图，四边形abcd中，ab∥cd，ad∥bc，o为对角线ac的中点，过点o作一条直线分别与ab、cd交于点m、n，点e、f在直线m、n上，且oe＝of.⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来； ⑵求证：∠mae＝∠ncf

aebmoncdf5、在△abc中，高所在直线ad和be交于h点，且bh＝ac，则∠abc＝_____________.6、下列三个判断：

⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等。上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。________________________________________________________________________________________________________________

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（三）全等三角形的应用

全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：

①线段和角的等量关系 ②线段和角的和差倍分关系

③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，已知bd、ce分别是△abc的边ac和ab上的高，点p在bd的延长线上，bp＝ac，点q在ce上，cq＝ab.试判断ap与aq的关系，并证明。2、如图，ad是△abc的高，e为ac上一点，be交ad于点f，且bf＝ac，fd＝cd，求证：be⊥ac

faadqpebce3、（2012〃阜新中考）如图，在△abc中，ab＝ac,ad＝ae,∠bac＝∠dac＝90°.⑴当点d在ac上时，如图①,线段bd,ce有怎样的数量和位置关系？证明你猜想的结论。⑵将图①中的△ade绕点a顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，如图②，线段bd、ce有怎样的数量关系和位置关系？dc①aedbc②________________________________________________________________________________________________________________

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4、在△abc中，ab＝ac，点d是直线 bc上一点（不与b、c重合），以ad为一边在ad的右侧作△ade，使ad＝ae，∠dae＝∠bac，连接ce.⑴如图①，当点d在线段bc上时，若∠bac＝90°，则∠bce＝_______度。⑵设∠bac＝α，∠bce＝β

a、如图②，当点d在线段bc上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由。b、当点d在直线bc上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？c①aec②________________________________________________________________________________________________________________

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（四）辅助线作法之连接法

在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形。常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等。1、如图，△abc的两条高bd，ce相交于点p，且pd＝pe.证明∶ac＝ab

2、已知ab＝de，bc＝ef，∠b＝∠e，af＝cd 求证：ac∥df

3、如图，ab交cd于点o，ad、cb的延长线相交于点e，且oa＝oc，ea＝ec.∠a＝∠c吗？点o在∠aec的平分线上吗？

ebcdoabcdafeaebdpc________________________________________________________________________________________________________________

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（五）辅助线作法之倍长中线法

在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去。1、△abc中，ab＝5，ac＝3，求中线ad的取值范围。2、如图，在△abc中，ad是∠bac的平分线，又是bc上的中线

求证：ab＝ac

3、（2014〃襄阳初三模拟）在△abc中，d是边bc上的一点，且cd＝ab，∠bad＝∠bda，ae是△abd的中线。求证∶ac＝2ae

bedcabdcaabdc________________________________________________________________________________________________________________

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afe4、（竞赛014）△abc中，d为bc的中点，de⊥df交ab，ac于点e，f.求证：be＋cf＞ef

6、（竞赛015）例：已知ad是△abc的中线，be交ac于点e，交ad于点f，且ae＝ef.求证：ac＝bf

bdcaefdbc________________________________________________________________________________________________________________

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（六）辅助线作法之截长补短法

截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等。补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等。1、已知ac∥bd，ea，eb分别平分∠cab和∠dba，点e在cd上。求证：ab＝ac＋bd

2、在四边形abcd中，ac平分∠bad，ce⊥ab于点e，且ae＝½（ab＋ad）.求证∶∠b＋∠d＝180°

3、如图，已知△abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d为ac的中点，ae⊥bd于e，延长ae交bc于f.求证：∠adb＝∠cdf

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bfcaecdabadebced周老师·数学培优

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4、如图，∠c＝90°，ac＝bc，ad是∠bac的角平分线。求证∶ac＋cd＝ab

12、如图，已知ab＝cd＝ae＝bc＋de＝2，∠abc＝∠aed＝90°，dae________________________________________________________________________________________________________________

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（七）辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形

2、（2012〃“华罗庚杯”）如图，在△abc中，ac＝½ab，ad平分∠bac，且ad＝bd 求证：cd⊥ac

acbd________________________________________________________________________________________________________________

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（八）全等三角形在动态几何中的运用

1、(竞赛〃014〃3)如图，△abc的边bc在直线l上，ac⊥bc，且ac＝bc.△efp的边fp也在直线l上，边ef与边ac重合，且ef＝fp.⑴在图①中，请你通过观察、测量、猜想并写出ab与ap所满足的数量关系和位置关系；⑵将△efp沿直线l向左平移到图②的位置时，ep交ac于点q,连接ap,bq.猜想并写出bq与ap所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；⑶将△efp沿直线l向左平移到图③的位置时，ep的延长线交ac的延长线于点q,连接ap,bq.你认为⑵中所猜想的bq与ap的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。a(e)eaeaqllbc(f)pfpbclbfcp q________________________________________________________________________________________________________________

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（九）探究角平分线

一、知识清单

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）.由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。角平分线性质：

1、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。2、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。3、三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为内心。二、方法点拨

证明角平分线有两种方法：一是运用定义证明两个角相等；二是运用角平分线的判定方法。三、规律清单

①遇到角平分线，可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图1).②遇到角平分线，常可利用翻折法或截长补短法解题(图2).③有两条角平分线(内角或外角)交于一点，则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个内角或外角(图3).④有垂直于角平分线的线段，则延长这条线段以利用三线合一解题(图4).⑤遇到角内的一点到角的两边有垂线段时，就连接这点与角的顶点，看能否平分已知角(图5).⑥遇到有多条角平分线时，可尝试用整体的思想解题(图6).⑦有翻折条件时，除注意全等的结论，还应关注折线就是角平分线、是对称轴（如图7）.⑧角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个，常可直接得到另一个(如图8）.aaacbdafaegdbdbc图2b图1cd图3dcbc________________________________________________________________________________________________________________

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aa

cfebdc图4bfe

decf图5

adba1d2b3a1apfc'd'dad2cb图6ef1＋2＋3＝90°1＋2＝90°－½bcbec图7b图8cd

四、真题训练

1、(2011〃鄂州〃竞赛〃018 〃重庆中考）如图，△abc的外角∠acd的平分线cp与内角∠abc的平分线bp相交于点p，若∠bpc＝40°，则∠cap＝2、(竞赛〃019)如图，∠b＝∠c＝90°，m是bc的中点，dm平分∠adc.求证：am平分∠dab

dcmab________________________________________________________________________________________________________________

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3、(竞赛〃019)如图，在△abc中，∠bac＝90°,ab＝ac,be平分∠abc,ce⊥1求证：ce＝ bd 2

bca

4、如图，在△abc中，ad平分∠bac，bd＝cd 求证：∠b＝∠c

5、如图，在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝bc，ad是∠bac的平分线，交bc于d，de⊥ab于e，若ab＝10cm，则△dbe的周长是多少？

abdcaecdb6、（2011，恩施中考）ad是△abc的角平分线，df⊥ab，垂足为f，de＝dg，△adg和△aed的面积分别为50和39，则△edf的面积为多少？

befgdc________________________________________________________________________________________________________________

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7、如图，△abc中，ad平分∠bac，dg⊥bc且平分bc，de⊥ab于e，df⊥ac于 m.shancaoxiang.com f.求证：be＝cf

8、在△abc中，ad是∠bac的平分线，e、f分别为ab、ac上的点，且∠edf＋∠baf＝180°

⑴求证：de＝df ⑵如果把最后一个条件改为ae＞af，且∠aed＋∠afd＝180°，那么结论还成立吗？

9、如图，已知ab＝ac，be⊥ac于e，cf⊥ab于f，be与cf交于点d 求证：点d在∠bac的平分线上。10、如图，在四边形abcd中，对角线ac平分∠bad，ab＞ad，下列结论正确的是()－ad＞cb－cd －ad＝cb－cd －ad＜cb－cd －cd与cb－cd的大小关系不确定

bcaaebgcfdafebdcbfdaecd________________________________________________________________________________________________________________

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11、（竞赛014）如图，已知△abc中，∠b＝60°，∠bac，∠bca的平分线ad，ce相交于点o.求证：dc＋ae＝ac

12、(竞赛〃019)如图，已知△abc，p为内角平分线ad、be、cf的交点，过点p作pg⊥bc于g点。试说明∠bpd与∠cpg的大小关系，并说明理由。

bdgcaaeobdcfpe________________________________________________________________________________________________________________

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（十）应用线段垂直平分线的性质和判定解题

一、知识清单

定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

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全等三角形培优100题 全等三角形专题课 篇四

一、知识要点

二、例题解析

【例1】如图，点b、e、c、f在同一条直线上，ab＝de，ac＝df，be＝cf，求证：∠a＝∠d

【例2】如图，等腰△abc与△ade中，ab＝ac，ad＝ae，且∠cab＝∠ead，求证：ce＝bd

【练】如图，点a、b、c、d在同一条直线上，ac＝bd，ae⊥ab，cd⊥df，ae＝df，求证：∠e＝∠f

【例3】如图，ab＝dc，ad＝bc，de＝bf，求证：be＝df

【练】如图，ae＝cf，ad∥bc，ad＝cb(1)求证：△adf≌△cbe

(2)如果将△bec沿ca边方向平行移动，可有右图，上述条件不变，结论仍成立吗？

【例4】如图，d点在ab上，点e在ac上，be和cd相交于点o，ab＝ac，∠b＝∠c，求证：(1)△abe≌△acd；(2)bd＝ce

【练】如图，ab＝ac，ad＝ae，∠1＝∠2，求证：△abd≌△ace

【例5】如图，△abc≌△a1b1c1，ad、a1d1分别是△abc和△a1b1c1的高，求证：ad＝a1d1

【练】(1)如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：ac＝ad

(2)如图，ab⊥bc，ad⊥dc，垂足分别为b、d，∠1＝∠2，求证：ab＝ad

【例6】如图，ab＝ac，ad＝ae，ab、dc相交于点m，ac、be相交于点n，∠dab＝∠eac，求证：am＝an

【例7】如图，△abc中，∠bac＝90°，ab＝ac，ae是过a的一条直线，且点b、c在ae的异侧，bd⊥ae于d，ce⊥ae于e(1)求证：bd＝de＋ce

(2)如图，若点b、c在ae的同侧时，其余条件不变，请问bd与de、ce的关系如图（bd＜ce），请给予证明

【例8】如图，bd、ce分别是锐角△abc的边ac和ab上的高，点p在bd的延长线上，bp＝ac，点q在ce上，cq＝ab，求证：(1)ap＝aq；(2)ap⊥aq

【例9】如图，ad为△abc的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：be＋cf＞ef

【例10】如图，ad为△abc的中线，求证：ab＋ac＞2ad

三、反馈练习

1．如图，ab＝dc，ac＝bd，求证：∠a＝∠d

2．如图，ab＝ad，∠1＝∠2，ac＝ae，求证：de＝bc

3．如图，b、d、c在一条直线上，ab＝bc，bd＝ec，ab⊥bc，ec⊥bc，求证：af⊥be

4．如图，bd、ac交于o，∠1＝∠2，∠d＝∠c，求证：ac＝bd

5．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，e是ad上一点，求证：bd＝cd

6．如图，ab＝ac，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△abe≌△acd

7．如图，在rt△abc中，∠bac＝90°，ab＝ac，p为bc延长线上任一点，过b、c两点分别作直线ap的垂线be、cf，e、f分别为垂足(1)求证：be＋cf＝ef

(2)若p为线段bc上任意一点，其它条件不变，试问：线段be、cf、ef的长度之间是否存在某种确定的数量关系？请画出图形，证明你的结论

8．如图，在△abc外有rt△abd和rt△ace，∠dab＝eac＝90°，ad＝ab，ac＝ae，cd与be交于m，求证：dc＝be，dc⊥be

9．如图，d为bc中点，de⊥df，e、f分别在ab、ac上，求证：ef－be＜fc

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