勾股定理的证明方法【通用多篇】范文
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勾股定理证明方法 篇一
勾股定理证明方法
勾股定理的种证明方法(部分)
【证法1】(梅文鼎证明)
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使d、e、f在一条直线上。过c作ac的延长线交df于点p.
∵d、e、f在一条直线上,且rtδgef≌rtδebd,
∴∠egf=∠bed,
∵∠egf+∠gef=90°,
∴∠bed+∠gef=90°,
∴∠beg=180º―90º=90º。
又∵ab=be=eg=ga=c,
∴abeg是一个边长为c的正方形。
∴∠abc+∠cbe=90º。
∵rtδabc≌rtδebd,
∴∠abc=∠ebd.
∴∠ebd+∠cbe=90º。
即∠cbd=90º。
又∵∠bde=90º,∠bcp=90º,
bc=bd=a.
∴bdpc是一个边长为a的正方形。
同理,hpfg是一个边长为b的正方形。
设多边形ghcbe的面积为s,则
,
∴。
【证法2】(项明达证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形,使e、a、c三点在一条直线上。
过点q作qp‖bc,交ac于点p.
过点b作bm⊥pq,垂足为m;再过点
f作fn⊥pq,垂足为n.
∵∠bca=90º,qp‖bc,
∴∠mpc=90º,
∵bm⊥pq,
∴∠bmp=90º,
∴bcpm是一个矩形,即∠mbc=90º。
∵∠qbm+∠mba=∠qba=90º,
∠abc+∠mba=∠mbc=90º,
∴∠qbm=∠abc,
又∵∠bmp=90º,∠bca=90º,bq=ba=c,
∴rtδbmq≌rtδbca.
同理可证rtδqnf≌rtδaef.
【证法3】(赵浩杰证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形。
分别以cf,ae为边长做正方形fcji和aeig,
∵ef=df-de=b-a,ei=b,
∴fi=a,
∴g,i,j在同一直线上,
∵cj=cf=a,cb=cd=c,
∠cjb=∠cfd=90º,
∴rtδcjb≌rtδcfd,
同理,rtδabg≌rtδade,
∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade
∴∠abg=∠bcj,
∵∠bcj+∠cbj=90º,
∴∠abg+∠cbj=90º,
∵∠abc=90º,
∴g,b,i,j在同一直线上,
【证法4】(欧几里得证明)
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使h、c、b三点在一条直线上,连结
bf、cd.过c作cl⊥de,
交ab于点m,交de于点
l.
∵af=ac,ab=ad,
∠fab=∠gad,
∴δfab≌δgad,
∵δfab的面积等于,
δgad的面积等于矩形adlm
的面积的一半,
∴矩形adlm的面积=。
同理可证,矩形mleb的面积=。
∵正方形adeb的面积
=矩形adlm的面积+矩形mleb的面积
∴,即。
勾股定理的别名
勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三,股修四,经隅五”,其意为,在直角三角形中“勾三,股四,弦五”。因此,勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”。
前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。
证明
这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。
勾股定理的证明方法 篇二
勾股定理的证明方法
绪论
勾股定理是世界上应用最广泛,历史最悠久,研究最深入的定理之一,是数学、几何中的重要且基本的工具。而数千年来,许多民族、许多个人对于这个定理之证明数不胜数,达三百余种。可见,勾股定理是人类利用代数思想、数学思想解决几何问题、生活实际问题的共同智慧之结晶,也是公理化证明体系的开端。
第一节 勾股定理的基本内容
文字表述:在任何一个的直角三角形中,两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方。 数学表达:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a^2+b^2=c^2 事实上,它是余弦定理之一种特殊形式。
第二节勾股定理的证明
2.1欧洲
在欧洲,相传最早证明勾股定理的是毕达哥拉斯,故在欧洲该定理得名毕达哥拉斯定理;又因毕达哥拉斯在证毕此定理后宰杀一百头牛庆祝,故亦称百牛定理。
欧洲最早记载这一定理之书籍,属欧几里得《几何原本》。
毕达哥拉斯的证明方法(相传):
一说采用拼图法,一说采用定理法。
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像左图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等。
a2+b2+4×1/2ab = c2+4×1/2ab ,整理即可得到。
定理法就是几何原本当中的证法:
设△abc为一直角三角形,其中a为直角。从a点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。形。
2.2 中国
《周髀算经》、《九章算术》当中都有相关问题的记载。
周髀算经的证明方法:
“数之法出于圆方,圆出于方,方出于矩,矩出于九九八十一。故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五,两矩共长二十有五,是谓积矩。”——以矩的两条边画正方形(勾方、股方),根据矩的弦外面再画一个矩(曲尺,实际上用作直角三角),将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形,可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。验算勾方、股方的面积之和,与弦方的面积二十五相等——从图形上来看,大正方形减去四个三角形面积后为弦方,再是大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半,可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积,所以 勾方+股方=弦方。 赵爽弦图或许是中国人最著名的一种证法。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间的小正方形边长为b-a,则
面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2 = c2;
化简后便可得:
a2 + b2= c2
亦即:
c=√(a2 + b2)
可见,中国古人主要采取拼图法进行证明。后来美国总统加菲尔德也曾采用拼图法,利用面积巧妙的证明了勾股定理,他用了两个全等的直角三角形拼成一个梯形,利用面积法进行证明,非常巧妙。
2.3 其他方法
最快:射影定理法,利用相似形来证明。
面积思想:利用三角形五心的性质,利用面积来证明。
综上所述,勾股定理的证明是人类智慧的结晶。
证明勾股定理的方法 篇三
最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长玫秸?叫蜛BDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得:
a2+b2=c2
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题。
再给出两种
1。做直角三角形的高,然后用相似三角形比例做出。
2。把直角三角形内接于圆。然后扩张做出一矩形。最后用一下托勒密定
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