不等式的基本性质教学设计精品多篇范文

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不等式的基本性质教学设计 篇一

教学目的

掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。

教学过程

师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7.

第二组：-7 < -5; 3+4 >1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.

生：第一组都是等式，第二组都是不等式。

师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。

师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。

(回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。

（1）7 ___ 4;（2）- 2____6;（3）- 3_____ -2；（4）- 4_____-6

练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。

（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？

生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！

师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？

生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。

师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。

练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：

7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说

不等式的基本性质教学设计 篇二

【教学目标】

1.通过具体情境让学生感受和体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。

2．建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系。

3．了解不等式或不等式组的实际背景。

4.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题。

【重点难点】

重点：

１.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性。

２.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：

1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系。

2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题。

【方法手段】

1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

3.设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。

【教学过程】

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

导入新课

日常生活中，同学们发现了哪些数量关系。你能举出一些例子吗？

实例1.某天的天气预报报道，最高气温35℃，最低气温29℃。

实例2.若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。

实例3.两点之间线段最短。

实例4.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。在老师的引导下，学生肯定会迫不及待的能说出很多个例子来。即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

推进新课

同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系，非常好。而且大家已经考虑到本节课的标题《不等关系与不等式》，所举的实例都是反映不等量的关系。

（下面利用电脑投影展示两个实例）

实例5：限时40km/h的路标，指示司机在前方路段行使时，应使汽车的速度v不超过40km/h。

实例6：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

同学们认真观看显示屏幕上老师所举的例子。

让学生们边看边思考：生活中有许多的事情的描述可以采用不等的数量关系来描述

过程引导

能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但是我们还要能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，那么我们用什么知识来表示这些不等关系呢？

什么是不等式呢？

用大屏幕展示一组不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于现实生活，这才是学习数学的最终目的。

思考并回答老师的问题：可以用不等式或不等式组来表示不等关系。

经过老师的启发和点拨，学生可以自己总结出：用不等号将两个解析试连接起来所成的式子叫不等式。

目的是让学生回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号≤，≥的含义，是或的关系。回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了。

此时学生已经迫不及待地想说出自己的观点了。

合作探究

（一）。下面我们把上述实例中的不等量的关系用不等式或不等式组一一的表示出来，那应该怎么表示呢？

这两位同学的观点是否正确？

老师要表扬学生：“很好！这样思考问题很严密。”应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达。

（二）。问题一：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点。

请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量的关系。

老师提示：借助于图形，这个问题是不是可以解决？

（下面让学生板演，结合三角形草图来表达）

问题（二）：某种杂志原以每本2。5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0。1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

是不是还有其他的思路？

为什么可以这样设？

很好，请继续讲。

这位学生回答的很好，表述得很准确。请同学们对两种解法作比较。

问题（三）：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等式关系的不等式？

假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

右边的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？

这位学生回答得很好，思维很严密，那么该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等式组把实际问题中隐藏的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好。请同学们完成书本练习第74页1，2。

课堂小结：

1.学习数学可以帮助我们解决实际生活中的问题。

2.数学和我们的生活联系非常密切。

3.本节课巩固了二元一次不等式及二元一次不等式组，并且能用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题。还要注意思维要严密，规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用。

布置作业：

第75页习题3.1 A组4，5。

29℃≤t≤35℃

x≥0

|AC|+|BC|>|AB|

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、

|AB|-|AC|<|BC|.交被减数与减数的位置也可以。

如果用表示速度，则v≤40km/h.

f≥2.5%或p≥2.3%

学生自己纠正了错误：这种表达是错误的，因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示次实际问题中的不等量关系，即可以表示为也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

过点A作AC⊥平面于点C，则d=|AC|≤|AB|

可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本。销售量变为(8-)万本，则总收入为(8-)x万元。即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8-)x≥20.

解法二：可设杂志的单价提高了0.1n元，（n）

我只考虑单价的增量。

那么销售量减少了0.2n万本，单价为（2.5+0.1n）元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20.

截得两种钢管的总长度不能超过4000mm。

截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。

截得两种钢管的数量都不能为负数。

它们是同时满足条件，应该是且的关系。由实际问题的意义，还应有x,y要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

如果学生没有想到的话，老师可以在黑板上板演示意图，启发学生考虑三边的大小关系。

此时启发学生“或”字可以吗？学生没有了声音，他们在思考着。到底行不行呢？有的回答“行”，有的回答“不行”。

此时学生们在思考，时间长的话，老师要及时点拨。

让学生知道，在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，下面有学生的声音，有学生在讨论，有的学生还有疑问。老师注意关注学生的思维状况，并且及时的加以指导。

此时学生已经真正进入本节课的学习状态，老师再给出问题（三）使学生一直处于跟随老师积极思考和解决问题的状态。问题是教学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识。

【教学反思】(【设计说明】)

本节课内容很多，都是不等式和不等式组的有关问题，还有很多是生活中的实例，学生学习起来很感兴趣，课堂的气氛也很好，大多数学生都能很积极地回答问题，使课堂的学习气氛很浓，确实也做到了愉快教学。设计是按照老师引导式教学，边讲授边引导，启发学习思考问题及能自己解决问题，锻炼学习能自主的学习能力。

【交流评析】

一是课堂容量适中，二是实例很好，接近生活，学生感兴趣。三是学生回答问题积极踊跃，和老师配合很好。四是多媒体应用的恰到好处，教学设备很完善，老师也能很熟练的应用。

教学目标 篇三

1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性质；

2、初步体会不等式与等式的异同；

3、通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过程中与他人交流合作的重要性。

不等式的基本性质教学设计 篇四

（一）教学目标

1．知识与技能：使学生感受到在现实世界和日常生活中存在(好范文网☆www.haoword.com)着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容。

2.过程与方法：以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

3．情态与价值：通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。

（二）教学重、难点

重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。

（三）教学设想

[创设问题情境]

问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则d≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元。那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式≥20

问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。

根据题意，应有如下的不等关系：

（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；

（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；

（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。

由以上不等关系，可得不等式组：

[练习]第82页，第1、2题。

[知识拓展]

设问：等式性质中：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等。不等式是否也有类似的性质呢？

从实数的基本性质出发，可以证明下列常用的不等式的基本性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

证明：

例1讲解（第82页）

[练习]第82页，第3题。

[思考]：利用以上基本性质，证明不等式的下列性质：

[小结]：1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；

2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系；

[作业]：习题3.1（第83页）：（A组）4、5；（B组）2.

不等式的基本性质教学设计 篇五

知识与技能：

理解并掌握不等式的三个性质，能运用性质，用不等号连接某些代数式，进行不等式的变形。

过程与方法：

经历自主学习，小组交流合作学习，以及课堂上的成果汇报，培养学生自主分析问题，解决问题的能力，养成与他人交流，共同学习，共同进步的学习方法。

情感态度与价值观：在自主分析，交流合作，成果汇报的活动中，感受学习的乐趣，体会与人合作的快乐。

教学难点 ：

正确运用不等式的性质。

教学重点：

理解并掌握不等式的性质3。

教学过程：

一、创设情境 引入新课

利用一台平衡的天平提出问题，引入新课

1、给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？

2、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？

3、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？ 通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

二、合作交流 探究新知

1、问题情景：数学老师比 语文老师年龄小。

1、10年后谁的年龄大？

2、20年之后呢？

3、5年之前呢？

假设数学，语文两位老师的年龄分别为a，b ，则a < b

a+10 < b+10

a+20 < b+20

a—5 < b—5

2、探索与发现

一组： 已知5>3，则5+2 3+2

5—2 3—2

二组：已知—1<3则— 1+23+2

—1—33—3

想一想不等号的方向改变吗？

3、归纳：不等式的性质1：

不等式两边都加（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变

如果a＜b，那么a+c

如果a＞b，那么a+c >b+c， a—c >b—c。

不等号方向不改变！

4、大胆猜想

不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变

不等式两边都加（或减去）同一个数，不等号方向不改变

不等式两边都乘（或除以）同一个数（不为零），

不等号的方向呢？

5、探索与发现

已知4<6，则

一组：4×2 < 6×2； 二组： 4×（—2） >6×（—2）；

4÷2<6÷2；4÷（—2）>6÷（—2）。

思考不等号方向改变吗？

不等式两边都乘（或除以）一个不为零的数，不等号方向改不改变和什么有关？

6、不等式的性质2：

不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b， 且c>0，那么ac>bc，

如果a0，那么ac < bc，

7、不等式的性质3：

不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a>b， 且c<0，那么ac

如果a

三、巩固提高 拓展延伸

例1：判断下列各题的推导是否正确？为什么（学生口答）

（1）因为7。5＞5。7，所以—7。5＜—5。7；

（2）因为a+8＞4，所以a＞—4；

（3）因为4a＞4b，所以a＞b；

（4）因为—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；

（5）因为3＞2，所以3a＞2a．

（1）正确，根据不等式基本性质3．

（2）正确，根据不等式基本性质1．

（3）正确，根据不等式基本性质2．

（4）正确，根据不等式基本性质1．

（5）不对，应分情况逐一讨论．

当a＞0时，3a＞2a．（不等式基本性质2）

当 a=0时，3a=2a．

当a＜0时，3a＜2a．（不等式基本性质3）

考考你！ 0>4，哪里错了？

已知m>n，两边都乘以4，得4m>4n，

两边都减去4m，得0>4n—4m，

即0>4（n—m），

两边同时除以（n—m），得0>4。

等式与不等式的性质

1。不等式的三个性质。

2。等式与不等式的性质对比。

先前后比较，再定不等号

四、总结归纳

1、等式性质与不等式性质的不同之处；

2、在运用“不等式性质3"时应注意的问题． 学生通过总结，可以帮助自己从整体上把握本节课所学知识培养良好的学习习惯，也为下节课学好解不等式打下基础。

五、布置作业

1、必做题：教科书第134页习题9。1第4、5题

2、选做题：教科书第134页习题9。 1第7题．

教学过程： 篇六

（师生活动） 设计理念提出问题 教师出示天平，并请学生仔细观察老师的操作过程，回答下列问题：

1、天平被调整到什么状态？

2、给不平衡的天平两边同时加人相同质量的砝码，天平会有什么变化？

3、不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？

4、如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？ 通过天平演示，结合自己的观察和思考，让学生感受生活中的不等关系。

探究新知 1、用或填空。

(1)-1 3 -1+2 3+2 -1-3 3-3

（2） 5 3 5+a 3+a 5-a 3-a

（3） 6 2 65 25 6(-5)2(-5)

（4） -2 3(-2)6 36

(-2)(-6) 3（一6）

(5)-4 -6 (-4)2(-6)2

(-4)十(-2) (-6)十(-2)

2、从以上练习中，你发现了什么？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流。

3、让学生充分发表发现，师生共同归纳得出：

不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的。方向不变。

不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

4、你能说出不等式性质与等式性质的相同之处与不同

之处吗？ 通过动手、动口、动脑，引导学生运用类比、归纳的数学思想去探究问题，在品尝成功的喜悦中激发出学数学的兴趣。

渗透类比思想。

探究新知 4、下列哪些是不5、等式x+3 6的解？哪些不6、是？

-4，-2. 5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12

2、直接想出不等式的解集，并在数轴上表示出来：

(1)x+3 6(2)2x 8(3)x-2 0

巩固新知 1、判断

（1）∵a b a-b b-b

（2）∵a b

（3）∵a b -2a -2b

（4）∵-2a 0 a 0

（5）∵-a 0 a 3

2、填空

（1）∵ 2a 3a a是 数

（2）∵ a是 数

（3）∵ax a且 x 1 a是 数

3、根据下列已知条件，4、说出a与b的不5、等关系，6、并说明是根据不7、等式哪一条性质。

(1)a-3 b-3 (2)

(3)-4a -4b 设置这几个练习，既可以培养学生独立思考的能力，又可强化对概念的理解，使学生真正认识不等式的性质。

总结归纳

在学生自己总结的基础上，教师应强调两点：

1、等式性质与不等式性质的不同之处；

2、在运用不等式性质3时应注意的问题。 学生通过总结，可以帮助自

己从整体上把握本节课所学知

识，培养良好的学习习惯，也为

下节课学好解不等式打下基础。

小结与作业

布置作业 1、必做题：教科书第134页习题9.1第4、5题

2、选做题：教科书第134页习题9. 1第7题。

3、备选题：

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

本节课设计旨在让学生经历通过实验、猜测、验证，发现不等式性质的探索过程。用类比和实验探究法作为主要方法贯穿整个课堂教学之中，并以多媒体作为辅助教学手段。让学生充分进行讨论交流，在自主探索和合作学习中掌握不等式的性质。这样就能有效地突破本节课的难点，为学生今后的学习打下坚实的基础。

教学过程中贯穿了一条创设情境，引出新知实验讨论，得出性质探究辨析，突破难点运用性质，解决问题的线索，使学生真正成为学习的主人。在师生交流合作中营造互动的氛围，让学生积极主动地参与教学的整个过程，使他们的学习态度、情感意志和个性品质等都得到不同程度的提高。

为了突破教学难点，让学生能熟练准确地运用不等式性质3，本课设计了多样化的练习以巩固所学知识。在学生回答、板演、讨论的过程中，课堂气氛被激活，教学难点被突破，使学生在轻松愉快的氛围中扎实地掌握性质并灵活运用。同时，学习伙伴之间进行了思维的碰撞和沟通。

不等式的基本性质教学设计 篇七

教学分析

本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展。在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小。

通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用。对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程。即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来。

在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望。根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小。

在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系。要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识。

三维目标

1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系。

2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围。

3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美。

重点难点

教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围。

教学难点：准确比较两个代数式的大小。

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课。

思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系。这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着。这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课。

推进新课

新知探究

提出问题

1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同。怎样利用不等式研究及表示不等关系？

2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。你能举出一些实际例子吗？

3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？

4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？

活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同。不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a

教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系。在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容。

实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.

实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA

实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零。

实例4：两点之间线段最短。

实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系。那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子。如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。

教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来。实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图。

|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以。

实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的。但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论。

讨论结果：

(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。

(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

应用示例

例1(教材本节例1和例2)

活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法。

点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握。

变式训练

1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )

A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

C.f(x)

答案：A

解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小。

解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.

例2比较下列各组数的大小(a≠b).

(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);

(2)a4-b4与4a3(a-b).

活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定。本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点。

解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，

又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

∴a4-b4<4a3(a-b).

点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号。变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用。

变式训练

已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小。

活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系。

解：xy-1=x-yy.

∵x>y，∴x-y>0.

当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论。

例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法。

解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

因此a+mb+m>ab≥10%.

所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了。

点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.

变式训练

已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )

A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定

答案：A

解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.

又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

知能训练

1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )

A.3 B.2 C.1 D.0

2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小。

答案：

1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，

③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

∴只有①恒成立。

2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，

所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

课堂小结

1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中。

2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方。鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究。

作业

习题3—1A组3;习题3—1B组2.

设计感想

1.本节设计关注了教学方法的优化。经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式。各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动。也就是说，世上没有万能的教学方法。针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药。

2.本节设计注重了难度控制。不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点。作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响。

3.本节设计关注了学生思维能力的训练。训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线。采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化。变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升。

备课资料

备用习题

1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小。

2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

3.已知x>0，求证：1+x2>1+x .

4.若x

5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小。

参考答案：

1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

=1>0，

∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

=m2-2m+5+2m-5

=m2.

∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

∴m2-2m+5≥-2m+5.

(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

=a2-4a+3+4a-1

=a2+2.

∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

∴a2-4a+3>-4a+1.

3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2

=1+x+x24-(x+1)

=x24，

又∵x>0，∴x24>0.

∴(1+x2)2>(1+x)2.

由x>0，得1+x2>1+x.

4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

=-2xy(x-y).

∵x0，x-y<0.

∴-2xy(x-y)>0.

∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，

当a>b>0时，ab>1，a-b>0，

则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.

当b>a>0时，0

则(ab)a-b>1.

于是aabb>abb a.

综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.

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