基本初等函数的极限【精品多篇】范文

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函数极限 篇一

《数学分析》教案

第三章 函数极限

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第三章 函数极限

教学目的：

1、使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质； 2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性； 3.掌握两个重要极限

和，并能熟练运用；

4、理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：

本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。

教学时数：16学时

§ 1 函数极限概念（3学时）

教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。

教学要求：使学生逐步建立起函数极限的定义的清晰概念。会应用函数极限的定义证明函数的有关命题，并能运用语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。

教学重点：函数极限的概念。

教学难点：函数极限的定义及其应用。

一、复习：数列极限的概念、性质等

二、讲授新课：

（一）时函数的极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

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例4 验证

例5 验证

例6 验证

证 由 =

为使

需有

需有

为使

于是， 倘限制 ， 就有

例7 验证

例8 验证(类似有

（三）单侧极限:

1．定义：单侧极限的定义及记法。几何意义: 介绍半邻域

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

我们引进了六种极限:。以下以极限，为例讨论性质。均给出证明或简证。二、讲授新课：

（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出。1.唯一性:

2、局部有界性:

3、局部保号性:

4、单调性（不等式性质）:

Th 4 若使，证 设

和都有 =

（现证对 都存在， 且存在点 的空心邻域），有

註: 若在Th 4的条件中， 改“ 就有

5.6.以

迫敛性:

”为“ 举例说明。”， 未必

四则运算性质:（只证“+”和“ ”）

（二）利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

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例8

例9

例10 已知

求和

补充题:已知

求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）

教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则 运用。

教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件。仍以极限

为例。一。Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th 1 设函数在，对任何在点

且的某空心邻域

内有定义。则极限都存在且相等。(证)

存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系，是证明极限不存在的有力工具。对单侧极限，还可加强为

单调趋于

。参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理。7 《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．

（证）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 证明极限 不存在。二。证 对

有

例6

特别当 等。例7

例8

《数学分析》教案

第三章 函数极限

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三． 等价无穷小：

Th 2（等价关系的传递性）。等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3（等价无穷小替换法则）

几组常用等价无穷小:（见[2]）

例3 时， 无穷小

与

是否等价？ 例4

四。无穷大量:

1、定义:

2、性质:

性质1 同号无穷大的和是无穷大。性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大。性质3 与无界量的关系。无穷大的阶、等价关系以及应用， 可仿无穷小讨论， 有平行的结果。3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大

习题 课（2学时）

一、理论概述：

《数学分析》教案

第三章 函数极限

xbl

例7.求

。注意 时， 且

。先求

由Heine归并原则

即求得所求极限

。例8 求是否存在。和。并说明极限

解；

可见极限 不存在。--32

函数极限 篇二

习题

1、按定义证明下列极限:

(1)limx6x5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x2x

x251;(4)lim(3)lim2xx1x2

(5)limcos x = cos x0 xx04x2=0;

2、根据定义2叙述limf(x)≠ A.xx0

3、设limf(x)= A.，证明limf(x0+h)= A.xx0h0

4、证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|。当且仅当A为何值时反之也成立？ xx0xx0

5、证明定理3.1

6、讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

2x;x0.(3)f(x)=0;x0.1x2,x0.

7、设 limf(x)= A,证明limf(xxx01)= A x

8、证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 ， x0∈[0,1]（当x0=0或1时，考虑单侧极限）。xx0

习题

1． 求下列极限：

x21（1）lim2（sinx－cosx－x）；(2)lim;x02x2x1x22

x21x113x；

lim(3)lim;(4)

x12x2x1x0x22x3

xn1（5)limm(n,m 为正整数）；（6）lim

x1xx41

（7）lim

x0

2x3x2

70；

a2xa3x68x5。（a>0）；(8)lim

xx5x190

2． 利用敛性求极限：(1)lim

x

xcosxxsinx

；(2)lim2

x0xx4

xx0

3． 设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：

xx0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

xx0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

xx0

（3）lim

xx0

f(x)A

=（当B≠0时）g(x)B

4． 设

a0xma1xm1am1xam

f(x)=，a0≠0,b0≠0,m≤n,nn1

b0xb1xbn1xbn

试求 limf(x)

x

5． 设f(x)>0, limf(x)=A.证明

xx0

xx0

lim

f(x)=A，其中n≥2为正整数。6.证明limax=1(0

x0

7、设limf(x)=A, limg(x)=B.xx0

xx0

（1）若在某∪(x0)内有f(x)

（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)>g(x)。8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim 

x0

x

x11

lim;(2)；nnx0x1xx1x

xx2xnn

(3)lim;(4)lim

x0x0x1

x1

x

(5)lim

x

x（提示：参照例1）

x

x0

x0

x0

9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)？

x0

x0

x0

习题

1、叙述函数极限limf(x)的归结原则，并应用它证明limcos x不存在。n

n

2、设f 为定义在[a,+)上的增（减)函数。证明: lim= f(x）存在的充要条件是f在n

[a,+)上有上（下)界。3.(1）叙述极限limf(x)的柯西准则；

n

（2）根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件，并应用它证明limsin x不存在。n

n

4、设f在∪0(x0)内有定义。证明:若对任何数列{xn}∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都

n

n

存在，则所有这极限都相等。提示: 参见定理3.11充分性的证明。5设f为∪0(x0)上的递减函数。证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在，且f(x0－0)=supf(x)，f(x0+0)=

0xu

x0

0xun(x0)

inff(x)

6、设 D(x)为狄利克雷函数，x0∈R证明limD(x)不存在。xx0

7、证明:若f为周期函数，且limf(x)=0,则f(x)=0

x

8、证明定理3.9

习题

1、求下列极限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x0x0sinx2x

(3)lim

x

cosxx



tanxsinxarctanx

lim(5)lim;(6)；3x0x0xx

sin2xsin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

xxaxxa

；(4)lim

x0

tanx

；x

cosx2

(9)lim;(10)lim

x0x01cosxx11

sin4x

2、求下列极限

12x

（1)lim(1）；（2)lim1axx(a为给定实数）；

nx0x

x

(3)lim1tanx

x0

cotx

；(4)lim

1x

；

x01x

(5)lim（x

3x22x1)；（6)lim(1）x（，为给定实数）

n3x1x

3、证明:limlimcosxcoxcos4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin

n



x0n





x2

xxcos1 2n22



n

；(2)

习题

1． 证明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0)；(2)x sinxO(x)(x→0)；

+

（3）x1o(1)(x→0)；

（4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数）（5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞）；

（6)o(g(x)）±o（g(x)）=o（g(x)）(x→x0)

（7)o(g1(x)）·0（g2(x)）=o（g1(x)g2(x)）(x→x0)2． 应用定理3.12求下列极限：

x21x(1)lim(2)lim x01cosxxxcosx

x3． 证明定理3.13

4． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

13x34

(1)y =；(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx2x

5． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x)；1x

（3）tanxsinx;(4)

x24x3

6． 试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：

（1）

x2x5;(2)x+x2(2+sinx)；

（3)(1+x)(1+x2)…(1+xn)。7． 证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}s，使得xn→+∞(n→∞）

8． 证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r

时的无穷大量。

9． 设 f(x)~g(x)(x→x0)，证明：

f（x)－g(x)= o(f(x)）或 f（x)－g(x)= o(g(x)）

总 练习题

1． 求下列极限：

1

（x[x]）lim（[x]1）(1)lim;(2)

x3

x1

(3)lim（x

axbxaxbx)

xxa

(4)lim

x

(5)lim

xxa

x

(6)lim

xxxx

x0

(7)lim

nm,m,n 为正整数 nx11xm1x

2． 分别求出满足下述条件的常数a与b：

x21

(1)limaxb0 xx1

x(3)limx

(2)lim

xxx2

x1axb0

x1axb0

x2

3． 试分别举出符合下列要求的函数f：

(1)limf(x)f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)0。这同极限的xx0

局部保号性有矛盾吗？

5． 设limf(x)A，limg(u)B，在何种条件下能由此推出

xa

gA

limg（f(x)）B?

xa

6． 设f(x)=x cos x。试作数列

（1){xn} 使得 xn→∞(n→∞）， f（xn)→0(n→∞）；（2){yn} 使得 yn→∞(n→∞）， f（yn)→0(n→∞）；（3){zn} 使得 zn→∞(n→∞）， f（zn)→0(n→∞）。7． 证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：

(1)limanr1

n

(2)lim

an1

s1（an≠0,n=1,2,…）

nan

n2

n2

8． 利用上题（1）的结论求极限：

(1)lim1

n

11(2)lim1

nnn

9． 设liman，证明

n

(1)lim

(a1a2an) nn

n

（2）若an>0（n=1,2,…），则lima1a2an 10.利用上题结果求极限：

(1)limn!(2)lim

n

In（n!）

nn

11、设f为U-0（x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}U-0(x0)且xn→x0(n→∞），使得

limf(xn)A，则有

n

f(x0－0)=

supf(x)A

0xU(x0)

12、设函数f在（0,+∞）上满足方程f（2x)=f(x)，且limf(x)A。证明：f(x)A，x∈(0,+∞）

x

13、设函数f在（0,+∞）此上满足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)f(1)lim

x0

x

证明：f（x)f(1)，x∈(0,+∞）

14、设函数f定义在（a,+∞）上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足

x

lim（f(x1)f(1)）A证明

x

lim

f(x)

A x

基本初等函数教学反思 篇三

初中我们学习了一次函数、二次函数、反比例函数三类初等函数，必修一中我们又要学习另外三种初等函数----指数函数、对数函数、幂函数。在前两章中我们已经学习了函数的概念、函数的基本性质——单调性、奇偶性，我在教学学过程中就将这些性质和初中学习的函数进行结合，分析讨论这些函数的相关性质。指数函数、对数函数、幂函数的研究也是以这些基本性质为出发点，来进行研究的。实质是对函数性质研究的延续。我主要谈一下我在教学对数函数的图像和性质方面的感受。

指数函数和对数函数间有着密不可分的关系，它们的性质有好多的相似指处，因此在教学过程中，我比较注重培养学生运用对比、类比的数学思想去学习对数函数函数。；同时从数形结合的角度去感性认识对数函数的性质，这样可以把函数的抽象性以更为直观的形式表现出来；在教学过程中，我还适时运用肢体语言让同学们感知函数图像，从而比较自然地使学生能尽快记住函数图像的样子，有了图像性质全部写在图上。数形结合这种重要的数学思想贯穿整个高中数学，应该逐渐使学生养成运用意识。学生对函数性质的把握还是不错的。

但是，对于新知的理解和接受需要一个过程，就像我们人与人之间的交往一样，新朋友的熟悉需要一个认识的过程。由于课程时间安排比较紧，我们不可能停下来认识，一个学期或一个学年后发现好多学生已经将对数函数、指数函数的性质忘记了，碰到了和陌生的一样。我觉得这和我们平时的月考内容安排有关系，我们的月考内容应该是之前的全部学习内容，非本学期的前面的知识要占一定比例，但是我们的安排都是本月学习什么只考什么，前面的根本不涉及。这样前面的东西就慢慢忘了。我们应该在这方面改进一下。

专升本高等数学复习题 篇四

数学分析1试卷(5)

一、（15%）求下列极限

（1）lim（n1232n1tgxsinx1x）limlim（2）（3） 3n0n01x222nx1x

二、（20%）求下列函数的导数

（1）yx3log3x（2）yln(sinx)（3）yexsin2x

（4）y(arcsinx)2（5）yxsinx

三、（10%）用极限的“N”定义证明limsinnn0.

四、（14%）求下列函数的间断点，并说明其类型

（1）f(x)x1（2）f(x)arctg sinxx

五、（13%）叙述函数f(x)在点x0连续的定义。设函数f(x)，g(x)在点x0连续且存在某点U0(x0)内有f(x)>g(x)，证明f(x0)g(x0)。

六、（13%）叙述函数f（x)在区间I非一致连续的定义。证明函数f(x)xsinx在[0,）非一致连续。

f(x)，证明f(x)在[a,b)能达到

七、（15%）设函数f(x)在区间[a,b)连续，且limxb

最小值。

基本初等函数的极限 篇五

基本初等函数在其定义域内极限值等于函数值。cc 常函数 yc limx

指数函数 yaxa0,a1

a1 limax limax0；0a1 limax0 limax xxxx对数函数 ylogaxa0,a1

logax；0a1limlogax，limlogax a1limlogax，limxx0xx0

三角函数

ytanx lim

xk2tanx limxk2tanx

ycotx limcotx limcotx xkxk

反三角函数

xlimarctanx2arctanx；limarccotx0 limarccotxxlimxx2

幂函数 yx

x2定义域为R,例如yx2，limx

1/21/21/2limxlimx0（定义域内的点）0,定义域为，例如，yxxx0

x10，limx1 定义域为，00,，例如yx1，limxx0

x1/20，limx1/2 定义域为0,，例如yx1/2，xlimx0

注：不管的取值，定义域都包括0,

0，limx，limx0；0，limx0，limx xx0xx0

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