极限证明(精选多篇)_好范文网手机版

第一篇：极限证明

极限证明

1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x， limf(k)(x)?0． x???

2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为

偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求证limf(x)存在． 4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???

5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。

6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x. n??xn??n

7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.

8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。 an?1

t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，

为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。

10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?. n??2n2

11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。

12.证明：若???

af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.

11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.

15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.

16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

?r?0?.

?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2

r??

17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明lim

ana?.

n???bbn

?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，

在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.

x?x0

20.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理?

??a

23.设?

f(x)= 0. 证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,???上一致连续，???

24.设a1>0，an?1＝an＋，证明＝1 nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在

?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：

1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?(本文来源好范文网wWW.haoWOrd.cOm)a处连续的充要条件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26设?xn?满足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。

27.设an?a,用定义证明:limn???an?a

28.设x1?0，xn?1?

31?xn

,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。

n??3?xn

29.用“???语言”证明lim30.设f(x)?

(x?2)(x?1)

x?1x?3

x?2

，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求证：limxn?2。

31.设fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求证：

（a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；

（b）设xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn??/3。

n??

32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??)，则对a，b之间的任意数?，

可找到数列xn?a，使得limf(zn)??

33.设函数f在[a,b]上连续，且

f?0,记fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a

，试证明：n

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式证明下?ab?a

式

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

b?a

34.设f‘(0)?k,试证明lim

a?0?b?0?

35.设f(x)连续，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

论?'(x)在x?0处的连续性。

f(x)

，求?'(x)，并讨?a（常数）

36．给出riemann积分?af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

lim?()s。 n??ni?0n

?x322

,x?y?0?2

37.定义函数f?x???x?y2. 证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

38.设f是?0,??上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.

39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0

f?2x??f?x??a,求证：f'?0?存在且等于a.

40.无穷数列?an??,bn?满足limn??an?a,limn??bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab.

n??ni?1

41.设f是?0,??上具有二阶连续导数的正函数，且f'?x??0,f''有界，则limt??f'?t??0

42.用???分析定义证明limt??1

x?31

? x2?92

43.证明下列各题

?1?设an??0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛；

n?1

?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?n2014an收敛，试证明limn2014an?0;

n??

n?1

?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn??,yn?都有limn???f?xn??f?yn???0.

?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0???收敛，试证明limn??n?n?1?

a?1。 45.设an?0，n=1,2， an?a?0,(n??),证 limn

n??

46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕

limf（x）存在且小于1＋。

x?＋?4

，证明x?1）2

x2＋f（x）

47.已知数列{an}收敛于a，且

a?a???asn?，用定义证明{sn}也收敛于a

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求证?0,???内存在一个单

x??x

调数列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.设f?x???2,确定常数a,b,c,使得f''?x?在???,??处处存在。

??ax?bx?c,x?0

第二篇：极限的证明

极限的证明

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减

且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.

对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7

第三篇：数列极限的证明

数列极限的证明

x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

设x(k)<4，则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第四篇：函数极限的证明

函数极限的证明