运用“教学做合一”思想培养学生数学探究能力

教育家陶行知先生提出了“教学做合一”思想，他认为，教师教方法要根据学生学的方法来确定，教与学的方法，都要根据“做”的方法来确定，教法、学法、做法是应当三合一的。陶先生还说，教、学、做都要以“社会生活”为中心，“做”要在“劳力上劳心”。即“我们做一件事便要想如何可以把这件事做好，如何运用书本，如何运用别人的经验，如何改造用得着的一切工具，使这件事做得最好。我们还要想到这事和别事的关系，想到这事和别事的相互影响。我们要从具体想到抽象，从我相想到共相，从片段想到系统。”（陶行知《答朱端琰之问》）陶先生这些思想与今天新课程改革的思想、理念完全是一致的。按照《课标》编写的高中数学教材，正是以社会生活为中心，教学生发现生活中的问题，从而解决问题。陶行知的“教学做合一”思想有利于指导我们在高中数学教学中培养学生的数学探究能力，提高高中数学教学效益。

一、在“做”中培养学生数学探究意识

⒈从生活出发，培养学生的探究意识。

我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际的联系未能给予充分的重视，这导致了学生不善于从生活中发现问题，思考问题。其实，数学的产生于发展，从来都是来自于生活实际问题。从生活实际出发，抽象出数学问题，有利于激发学生学习数学的兴趣，产生问题意识。

例1 国庆期间，百胜和中友两个商场举行大酬宾活动，百胜商场规定：买任何一件商品，可先打折，再打折；中友商场规定：买任何一件商品可连续地两次折，请问：哪个商场更受顾客欢迎？

这是与学生息息相关的生活问题，学生兴趣浓，能调动学习的积极性，产生探索的心理指向。

为了花最少的钱，买最多的东西，先研究一番：首先提出假设：

创设情景：分别购买1000元的商品，并作比较。通过比较，学生容易发现：；显然，去百商场购买商品合算。

其次，将问题一般化：是否为任何值时，均成立呢？

这就将生活问题，演变成数学的一般性问题了。

在数学教学中，能从学生身边的例子出发的事例比比皆是。由于是学生熟悉的东西，学生“做”的探究意愿强烈，容易产生亲知；而且，培养了学生关注生活，思考生活的好习惯，培养了学生的探究意识。

⒉点拨指导，培养学生探究的韧性。

学生探究的意识是最为可贵的，而要学生具备乐于探究的习惯，还需要教师加以呵护。

当数学问题较为综合时，教师应适时加以指导，是否可考虑先解决局部问题，在“做”中再从整体上引导；当数学问题较为抽象，教师可引导学生从具体切入，从具体中得到启示；当数学问题较为复杂时，教师可引导学生先解决简单问题；通过教师的点拨指导，学生能积累解决困难的经验，提高抗挫折能力。

二、在“做”中进行学法指导，培养探究思维能力

培养学生的探究能力，首先要养成学生科学的探究方式。陶行知说：“活的人才教育，不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。”教师在教学中注重做法的指导，把学习的主动权交给学生，让学生在已有知识的基础上，借助一定的学习方法，自己独立地发现问题，分析问题，主动去获取新知识，从而真正达到培养能力。

⒈培养学生“尝试—归纳—猜想—证明”的探究方式

“尝试﹑归纳﹑猜想”被爱恩斯坦称之为“思想实验”，科学上许多“发现”都是凭直觉作出猜想，而后才去加以证明或验证。在数学研究里面，“先猜测后证明”几乎是一条规律。

例2 设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用表示这条直线交点的个数，则= （用表示）

①画图观察猜想

画图可得，

由此可得，

猜想：

②证明猜想（略）

在高中数学中，能使用这种研究方法的素材很多，如果持之以恒的对学生加以培养，慢慢的学生会形成这种科学研究的素质。

⒉培养学生类比联想的探究方式

类比就是一种相似，类比法是从特殊到特殊的推理方法。

①通过类比法，培养问题意识。

美国著名数学家哈尔莫斯说“问题是数学的心脏”。从推动科学进步和个人终身发展来看，独立发现和提出问题往往显得非常重要。那么，怎样独立发现和提出问题呢？一条重要的途径就是从当前研究的典型问题出发，应用恰当的（数学）方法挖掘、发现新的问题。而类比是一种常见的方式。

例3 已知线段AB是抛物线的焦点弦，F是焦点，准线L与x轴交于点E，作BN⊥L于N。求证：直线AN过抛物线的顶点O；∠AEF＝∠BEF。

能将上述问题进行推广与引申吗？（激励学生发现问题的意识和提出问题的勇气，希望学生能自己发现并提出一些猜想，并用技术检验自己的猜想）

学生很容易类比到在椭圆和双曲线中这些结论是否也

成立？因而得到以下两个猜想命题。

猜想1：如图1，设是椭圆的长轴，AB是过椭圆左焦点F的弦，BN∥交椭圆的左准线L于N点。则直线AN过椭圆的左顶点；∠AEF＝∠BEF 。

猜想2：如图2，设是双曲线的实轴，AB是过双曲线右焦点F的弦，BN∥ 交双曲线的右准线L于N点。则AN过双曲线的右顶点；∠AEF＝∠BEF 。

在这个例子中，由抛物线联想类比到椭圆﹑双曲线，提出了两个猜想，产生了新的问题，促进了学生的思考。当然，类比得到的猜想可能正确也可能不正确，如猜想1中“直线AN过椭圆的左顶点”是错误的，“∠AEF＝∠BEF”是正确的；但是，最可贵的是提出了问题，促进了研究，培养了探究思维能力。

②利用类比法，寻求解题思路。

例4 定义在（-1，1）上的函数满足：⑴对于任意，都有 ⑵。

⑴试判断函数的奇偶性；

⑵求证：

分析：数学解题思路的探究，往往与解题者个人原有知识经验中类似形式与结构﹑类似方法或模式有着千丝万缕的联系，这些联系常常与类比推理密切相关。通过分析得到，联想﹑类比数列求和的拆项求和法，尝试，解得，即，从而可猜测。

证明：

⑶强化一题多解与一题多变，培养学生发散思维能力

通过一题多解，培养思维的灵活性和求优意识。#www.haoword.com#

例5 在等差数列中，前项和为，若存在自然数使得当时，与的大小关系为：

A B C D

法一：化归到，用作差比较法可得。但本题作为选择题，这种做法投资太大，应思考是否还有更优秀的解法。

法二：数形结合法。由题意可知，如右分别作出的函数图象，立即可得答案A 。

一题多解是数学解题的一大特色，在教学中可经常培养学生不满足现状的习惯，提高解题的灵活性，培养学生寻求解决问题的优化意识。

⒉通过一题多变，培养思维的深刻性和研究意识。

如在例3中的猜想1中还可继续思考，将问题一般化，产生变题：

线段AB是椭圆的任意弦，并且线段AB与它的焦点所在的对称轴交于点，该轴上是否存在一点E，使∠AEM＝∠BEM ？

例6 已知：求证：

分析：课本利用作差法证明了该题。当学习完该题后，可以考虑改变题目的条件，引导学生探索：

①如果把条件减弱为是否仍有该结论？

经过探索发现仍有该结论。

证明：

又

是否有相似或推广的结论？经过探索发现有结论：

②

③

③证明：

当时，；当时，

通过以上问题探索，把学生置于发散式的思维状态中。一方面，可以巩固作差比较法，同时渗透分类讨论思想，培养思维的深刻性；另一方面，可以培养学生反思的研究意识。

三、实施“六大解放”，培养自动探究能力

“教学做合一”关键在于“做”，而这种“做”归根到底在于解放学生，陶先生的“六大解放”是：解放儿童的头脑，使他们能想；解放小孩子的两手，使他们能干；解放儿童的眼睛，使他们能看；解放小孩子的嘴，使他们能谈；解放小孩子的空间，使他们能到大自然大社会里去取得更丰富的学问；解放儿童的时间，使儿童有自由支配的时间。

⑴解放学生的头脑，培养学生的自主探究能力

⒈创设故错情境，培养他们的怀疑精神。陶先生在《儿童创造》中谈到“我们要发展儿童的创造力，先要把儿童的头脑从迷信﹑成见﹑曲解﹑中解放出来”。解放学生的头脑，使学生不迷信权威﹑不迷信教师；

例7 抛物线的一条弦直线是，且弦的中点的横坐标是2，求此抛物线方程。某“权威答案”如下：
解：由ｙ＝２ｘ＋５，得：　①
由，　　得　　　　故所求抛物线方程为
　　　质疑：把代入方程①，方程无实解，或方程①要有Δ＝４ｐ（ｐ－２０）＞０，即ｐ＜０，或ｐ＞２０，故ｐ＝２不合题意。本题无解。
　　教学中，对这样的新发现、巧思妙解及时褒奖、推广，能激起他们不断进取，努力钻研的热情。

⒉创设问题情景，启发学生思考。

例8 已知抛物线如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。

分析：本题涉及两个曲线和一条直线，情景较为复杂，多数学生思维无法打开；因此，为学生不断创设“最近发展区”就显得至关重要，这里的“做”就是引导学生积极思考。

我创设以下几个问题帮助学生步步逼近问题的本质：

① 从所探求的结论考虑，本题属于哪个知识点？启发学生判断本题属于切线问题。

② 把两个曲线简单化成一个曲线，切线问题的解法怎样？启发学生联想“以切点为中心的解题方法”

得到如下解题：函数的导数，曲线在点的切先方程是：；函数的导数，曲线在点的切线方程是③公切线意味着什么？引导学生得出，至此已经很靠近目标了，再促使学生思考：

④怎样得到的取值范围？引导学生从运用转化思想得到方程：

有唯一解。

⒊引导一题多解，培养发散思维。

一题多解是数学学科的一大特色，一方面，通过一题多解可培养学生的求优意识；另一方面，通过一题多解可培养学生思维的广阔性。例如：在上题的解题后，不是就此结束，而是充分挖掘本题的教育功能，挑战学生的思维，继续“做”下去，探究其它解法。

角度一：如果从切线的斜率出发得到：，不采取原来的路子，又该怎样得到有唯一解。诱发学生思考再寻找一个等式，切线的斜率还可怎样表示？引导学生得出：

通过这种处理，学生又学习了“演算两次”的思想。

角度二：如果从解析几何角度，又该如何处理？通过这种探究，沟通导数与解析几何两个分支的联系。

⑵解放学生的双手，培养学生的动手探究能力。

如在例3中，学生可以将类比得到的命题，通过计算机动手探究，发现命题的真假；又如在《算法语言》的教学中，让学生将自己编好的程序输入到计算机中去验证，接受计算机的检测，学生通过计算机的反馈，自己动手修改程序，完善程序，通过这样的一个动手活动，可以加深学生对知识的理解程度，甚至在动手中会创造出新颖的程序，增长了才干。

⑶解放学生的嘴，培养学生合作交流的探究能力。

第一，鼓励学生敢于表达自己的见解。

做学问关键在于问，对于学生的见解，哪怕是幼稚﹑错漏百出的，教师都应给予学生表达的机会，对学生表达中的合理成分给予肯定，帮助学生完善其思考，而不是忽视学生，一味否定学生的发言。

第二，鼓励学生在合作交流中学习。

如在《指数函数图象及其性质》可通过让学生分组参与，分别作出，的图象，然后引导学生从函数性质的几个方面（定义域，值域，单调性，奇偶性）进行合作研究，互相补充，归纳指数函数图象及其性质。这种方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生体验数学发现的里程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

⑷解放学生的眼和空间，培养学生的实践探究能力。

解放学生的眼和空间，就是不要让学生为读书而读书，把自己禁锢在书堆里，课堂上，而是要引导学生走出学校，锤炼能力。如学习了函数的最大最小值，就让学生去生活中寻找最优化方案设计；学习了数列的求和，就让学生去调查银行的按揭业务；学习了概率，就让学生关注风险投资；学习了线性回归方程，就让学生去关注生活中的现象，提出模拟等等。通过“做”，才能融会贯通，才能深化认识。通过生活的实践，知识就成了真知，同时又会碰到更多新的未知，激发出更强烈的求新知的欲望。

⑸解放学生的时间，培养学生的创造探究能力。

减轻学生课内作业的负担而引导学生延伸课内，发展个人的兴趣。例如学完一章后让学生写知识结构小结；让学生进行数学史专题研究，如探究函数发展史；让学生写数学论文，如数形结合法优化思维品质等。

掌握常见的探究方法，并且实现学生的“六大解放”，把“做”作为教和学的出发点和归宿，才能引发个体体验快乐、产生新的需要的，形成发展的动力。正如陶先生所说，"先生拿做来教，乃是真教；学生拿做来学，乃是实学"，只有在“做”中培养学生的探究能力，才能真正培养学生的实践能力和创新精神。

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